Question

如圖，在?ABCD的形外分別作等邊△ABF和等邊△BCE，連接DF、FE、ED．
（1）求證：△AFD≌△CDE；
（2）△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質和等邊三角形的性質得出AD=BC=EC，AF=AB=DC，∠BAD=∠DCB，求出∠FAD=∠DCE，根據SAS證△AFD≌△DCE即可；
（2）求出∠DCE=∠EBF，FB=AB=DC，BE=EC，根據SAS證△FBE≌△DCE，推出EF=FD=ED，根據等邊三角形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，△FAB和△EBC都是等邊三角形，
∴AD=BC=EC，AF=AB=DC，∠BAD=∠DCB，∠FAB=∠BCE=60°，
∴∠BAD+60°=∠DCB+60°，
∴∠FAD=∠DCE，
在△AFD和△CDE中
∵

AF=CD ∠FAD=∠DCE AD=CE

，
∴△AFD≌△CDE（SAS）；

（2）△DEF是等邊三角形，
證明：設∠DCB=x，則∠ABC=180°-x，∠DCE=60°+x，∠EBF=360°-120°-（180°-x）=60°+x
∴∠DCE=∠EBF，FB=AB=DC，BE=EC，
在△FBE和△DCE中
∵

BF=DC ∠DCE=∠FBE BE=CE

，
∴△FBE≌△DCE（SAS），
∴EF=FD=ED，
即：△DEF是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，平行四邊形的性質，全等三角形的性質和判定的綜合運用．