Question

已知：如圖，?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠CDA的平分線交BC于F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）連接EF、BD，求證：EF與BD互相平分．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由平行四邊形的性質可得AB∥CD，AB=CD；∠A=∠C，∠ABC=∠CDA，再由條件∠ABC的平分線交AD于E，∠CDA的平分線交BC于F可得∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠CDA，進而得到∠ABE=∠CDF，再利用ASA定理可判定△ABE≌△CDF；
（2）首先根據△ABE≌△CDF可得AE=CF，再根據平行四邊形的性質可得AD=CB，AD∥BC，進而得到DE=BF且DE∥BF，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊可證出四邊形BFDE是平行四邊形，再根據平行四邊形對角線互相平分可證出結論．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠A=∠C，∠ABC=∠CDA，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，
∴∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠CDA．
∴∠ABE=∠CDF，
再△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．

（2）證明：連接EF、DB，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴DE=BF且DE∥BF．
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴EF與BD互相平分．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，關鍵是熟練掌握平行四邊形的性質：平行四邊形對應邊相等，對應角相等，對角線互相平分．