Question

設(shè)E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上滑動保持且∠EAF=45°，AP⊥EF于點P．
（1）求證：AP=AB；
（2）若AB=5，求△ECF的周長．

Answer 1

【答案】分析：通過作輔助線，①證明△ABF′≌△ADF和△EAF′≌△EAF，再通過面積公式得出AP=AB；
②三角形的周長=三邊之和，由①中三角形的全等，通過等量代換，得出BE+BF′=EF′．
解答：證明：（1）延長CB到F′，使BF′=DF，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABF′=180°-∠ABC=90°=∠D，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′=AF，∠1=∠2，
∴∠EAF′=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-∠EAF=45°=∠EAF，
又∵EA=EA，
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′=EF，S_△AEF'=S_△ABF，
而EF′•AB=EF•AP，
∴AB=AP．

解：（2）C_△CEF=EC+CF+EF
=EC+CF+EF′
=EC+BE+CF+BF′
=BC+CF+DF
=BC+CD=2AB=10．
點評：本題是一道綜合題，考查三角形的全等，正方形的性質(zhì)，以及等量代換的方法和轉(zhuǎn)化的思想．