Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)A、C、D在⊙O上，BP是⊙O的切線，連接PD并延長(zhǎng)交⊙O于F、交AB于E，若∠BPF=∠ADC.
（1）判斷直線PF與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；
（2）當(dāng)⊙O的半徑為5，tan∠P=，求AC的長(zhǎng).

Answer 1

（1）PF∥AC；理由見解析；（2）2．

試題分析：（1）連接BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB=∠PEB，根據(jù)平行線的判定推出即可．
（2）求出sin∠ABC=sin∠P=，代入求出即可．
（1）解：直線BP和⊙O相切，
理由：連接BC，

∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∵直線BP和⊙O相切，
∴∠PBA=90°，
∴∠P+∠PEB=90°，
∵∠P=∠ADC，
∴∠PEB=∠CAB，
∴PF∥AC；
（2）解：由已知，得∠ACB=90°，∠P=∠ADC=∠ABC，⊙O的半徑為5，
∴AB=10，
∵tan∠P=，
∴sin∠ABC=，
∴AC=AB×=2．