Question

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸的正半軸于點C，其頂點為M，MH⊥x軸于點H，MA交y軸于點N，＝.

（1）求此拋物線的函數表達式；

（2）過H的直線與y軸相交于點P，過O，M兩點作直線PH的垂線，垂足分別為E，F，若 ＝時，求點P的坐標；

（3）將（1）中的拋物線沿y軸折疊，使點A落在點D處，連接MD，Q為（1）中的拋物線上的一點直線NQ交x軸于點G，當Q點在拋物線上運動時，是否存在點Q，使△ANG 與△ADM相似？若存在，求出所有符合條件的直線QG的解析式；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

 ∵ M為拋物線的頂點，

∴M（2，c）．∴OH＝2，MH＝|c|．∵a<0，且拋物線與x軸有交點，

∴c＞0，∴MH＝c．

∵sin∠MOH＝，∴．∴OM＝，∵，

∴MH＝c＝4．∴M（2，4）．

∴拋物線的函數表達式為：．

 如圖1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH．∴∠EHO＝∠FMH，∠OEH＝∠HFM．∴△OEH∽△HFM．∴＝＝．∵＝，∴MF＝HF．∴∠OHP＝∠FHM＝45°．∴OP＝OH＝2，∴P（0，2）．如圖2，同理可得，P（0，－2）．

  ∵A（-1，0），∴D（1，0）．∵M（2，4），D（1，0），∴MD：．

∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，∴，∴AN＝，ON＝，N（0，）．

如圖3，若△ANG ∽ △AMD，可得NG∥MD，∴QG：．如圖4，若△ANG ∽ △ADM，可得，．∴AG＝，∴G（，0），∴QG：；

綜上所述，符合條件的所有直線QG的解析式為：或．……4分

【解析】略