Question

如圖，半圓中，將一塊含的直角三角板的角頂點與圓心重合，角的兩條邊分別與半圓圓弧交于兩點（點在內部），與交于點,與交于點.

(1)求的度數;
(2)若是的中點，求的值;
(3)若,求的長.

Answer 1

（1）證明見解析；(2) ;

試題分析：（1）連接AC，根據直徑所對的圓周角為直角可知,根據圓周角定理可知，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可得到,在直角三角形再根據直角三角形內角和定理可知=；(2)根據點C是弧AD的中點，及半徑的性質，可以得到，得到角的性質可知，所以的到比例線段；（3）結合前面兩問的結論，可以首先證明兩個三角形相似，然后結合直角三角形的勾股定理可以求得線段長.
試題解析：解 （1）如圖，連接.
 是直徑，
,
,
,
，
（2） 是的中點，是半徑，
,
,
,
即,

即 (或) ；
（3） 連接，過點作的垂線，垂足為,
設，
則 
在中，,
，
 ,,
∽,
,
即,
在中，由勾股定理，,
即，
即，
解得：（不合題意，舍去），，
.