Question

（1）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD=

1

2

BC．求證：∠BAC=90°．
（2）此題實際上是直角三角形的另一個判斷定理，請你適當的方法表達出來．
（3）直接運用這個結論解答下面問題：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，BC=2，AD=1，AB+AC=1+

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據中線的定義可得AD=BD=DC，再根據等邊對等角可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，然后根據三角形內角和定理列式求解得到∠BAD+∠CAD=90°，從而得證；
（2）根據條件與結論寫出即可；
（3）先求出∠BAC=90°，再根據勾股定理列式求出AB²+AC²，然后利用完全平方公式求出AB•AC，再根據三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD，
∵AD=

1

2

BC，
∴AD=BD=DC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
即∠BAC=90°；

（2）解：根據題意用語言表述為：如果三角形一條邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；

（3）∵AD是BC邊上的中線，BC=2，AD=1，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得，AB²+AC²=BC²=2²=4，
∵AB+AC=1+

3

，
∴AB²+2AB•AC+AC²=（1+

3

）²=4+2

3

，
∴AB•AC=

3

，
S_△ABC=

1

2

AB•AC=

3

2

．

點評：本題考查了勾股定理，三角形的內角和定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質與判定，等腰三角形的性質，完全平方公式，理解題意并證明出直角三角形的判定定理是解題的關鍵，也是本題的難點．