Question

【題目】如圖，點P是邊長為的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別作PE⊥BC于點E，PF⊥DC于點F，連接AP并延長，交射線BC于點H，交射線DC于點M，連接EF交AH于點G，當點P在BD上運動時（不包括B、D兩點），以下結論中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PMPH；④EF的最小值是．其中正確結論_____．（填寫序號）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

①錯誤；②正確．想辦法證明∠GFM+∠AMD＝90°即可；③正確，只要證明△CPM∽△HPC，可得，推出PC2＝PMPH，根據對稱性可知：PA＝PC，可得PA2＝PMPH；

④錯誤．利用矩形的性質可知EF＝PC，當PC⊥BD時，EF的值最小，最小值為1

解：①錯誤．因為當點P與BD中點重合時，CM＝0，顯然FM≠CM；

②正確．連接PC交EF于O．根據對稱性可知∠DAP＝∠DCP，

∵四邊形PECF是矩形，

∴OF＝OC，

∴∠OCF＝∠OFC，

∴∠OFC＝∠DAP，

∵∠DAP+∠AMD＝90°，

∴∠GFM+∠AMD＝90°，

∴∠FGM＝90°，

∴AH⊥EF；

③正確．∵AD∥BH，

∴∠DAP＝∠H，

∵∠DAP＝∠PCM，

∴∠PCM＝∠H，

∵∠CPM＝∠HPC，

∴△CPM∽△HPC，

∴，

∴PC2＝PMPH，

根據對稱性可知：PA＝PC，

∴PA2＝PMPH．

④錯誤．∵四邊形PECF是矩形，

∴EF＝PC，

∴當CP⊥BD時，PC的值最小，此時A、P、C共線，

∵AC＝2，

∴PC的最小值為1，

∴EF的最小值為1；

故答案為：②③．