Question

【題目】閱讀下列材料，并解決問題：任意一個大于1的正整數m都可以表示為：m=p2+q（p、q是正整數），在m的所有這種表示中，如果最小時，規定：F(m)=．例如：21可以表示為：21=12+20=22+17=32+12=42+5，因為>>>，所以F(21)=．

（1）求F(33)的值；

（2）如果一個正整數n可以表示為t2-t（其中t≥2，且是正整數），那么稱n是次完全平方數，證明：任何一個次完全平方數n，都有F(n)=1；

（3）一個三位自然數k，k=100a+10b+c(其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a≤c，a、b、c為整數)，滿足十位上的數字恰好等于百位上的數字與個位上的數字之和，且k與其十位上數字的2倍之和能被9整除，求所有滿足條件的k中F(k)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據F(m)的定義，即可求出F(33)的值;

（2）設次完全平方數n=t2-t, t2-t=(t-1)2+(t-1)，根據F(m)的定義，求出即可證明.

（3）根據，，得到，根據能夠被9整除，即可求出，進而得到，，，，根據F(k)的定義進行求解即可.

解：（1）33可以表示為：，

∵，

∴；

（2）證明：設次完全平方數n=t2-t（其中t≥2，且是正整數），

∵t2-t=(t-1)2+(t-1)，

∴n=(t-1)2+(t-1)，

∴，即最小，

∴；

（3）∵，，

∴，

∴為整數·

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，，，，

∴，

∵，，，，

∴F(k)的最小值為．