Question

已知，如圖：O₁為x軸上一點，以O₁為圓心作⊙Ο₁交x軸于C、D兩點，交y軸于M、N兩點，∠CMD的外角平分線交⊙Ο₁于點E，AB是弦，且AB∥CD，直線DM的解析式為y=3x+3．
（1）如圖1，求⊙Ο₁半徑及點E的坐標；
（2）如圖2，過E作EF⊥BC于F，若A、B為CND上兩動點（AB∥CD）時，試問：BF+CF與AC之間是否存在某種等量關系？請寫出你的結論，并證明．

Answer 1

解：（1）如圖1，∵直線DM的解析式為y=3x+3，
∴D（-1，0），M（0，3），
∵△DMO∽△DCM，
∴OD•CD=DM•DM，DM=，
∴CD=10，半徑為CD=5．
連接EO₁，易知∠EO₁C=2∠EMC=90°．
點E的坐標（4，5）．

（2）如圖2，連接EC，過E作EG⊥AC于G，連接MA；
又∵∠EO₁C=90°，AB∥CD，
∴優弧ECB=優弧EDN，
∴∠ECG=∠EAB=∠ECF．
又∵EC=EC，∠EGC=∠EFC
∴△ECF≌△ECG，得出CF=CG，EG=EF；
又∵∠ENC=∠EBC，
∴△ENG≌△EBF，
∴BF=NG，
∴BF+CF=NG+CG=AC．
分析：（1）根據直線解析式解出D，M坐標，再根據相交弦定理解出圓的直徑長，連接EO₁，利用直角三角形解出E點坐標．
（2）連接EC，過E作EG⊥AC于G，首先證∠ECF=∠ECG（可連接MA，利用圓內接四邊形的性質來求），然后通過證△ECF、△ECG全等來解．
點評：考查了三角形的外接圓，全等三角形的證明以及相交弦定理的應用．