Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于B，延長BO₁、CA交于點P、PB與⊙O₁交于點D．
（1）求證：AC是⊙O₁的切線；
（2）連接AD、O₁C，求證：AD∥O₁C；
（3）如果PD=1，⊙O₁的半徑為2，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）證AC是圓O₁的切線，可連接O₁A然后證O₁A⊥PC即可，可通過∠PAO₁是圓O₂的內接四邊形的外角來求解．
（2）證AD∥O₁C，就是證∠PAD=∠O₁CA，可通過與兩角相等的中間角來求解；連接BA，那么∠O₁BA就是與兩角相等的中間角．（主要應用弦切角和圓周角定理來求解）．
（3）由于BC，AC同與圓O₁相切，因此根據切線長定理AC=BC，那么求BC也就是求AC的長，有了PD和⊙O₁的半徑即O₁D，O₁B的值，那么可根據切割線定理求出PA，由（2）得出的平行線，根據平行線分線段成比例定理，可得出關于PA，PC，PD，PO的比例關系，而PD，DQ₁，PA的值都已知，因此可求出AC的長，也就求出了BC的長．

解答：（1）證明：連接O₁A；
∵BC是⊙O₁的切線，
∴∠O₁BC=90°．
∵∠O₁AP是圓O₂的內接四邊形的外角，
∴∠PAO₁=∠O₁BC=90°，
∴Q₁A⊥AC，
則AC是⊙O₁的切線．

（2）證明：連接AB，
∵PC切⊙O₁于點A，
∴∠PAD=∠ABD．
∵∠ACO₁=∠ABO₁，
∴∠PAD=∠ACO₁，
∴AD∥O₁C．

（3）解：∵PC是⊙O₁的切線，PB是⊙O₁的割線，
∴PA²=PD•PB．
∵PD=1，PB=5，
∴PA=

5

，
∵PC是⊙O₁的切線．
又∵AD∥O₁C．
∴

PD

DO1

=

PA

AC

．
∴

1

2

=

5

AC

．
∴AC=2

5

．
∵AC，BC都是⊙O₁的切線，
∴BC=AC=2

5

．

點評：本題主要考查了切線的判定，切線長和切割線定理，圓周角定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．