Question

在等腰梯形中，已知AB=CD，AD∥BC，點E是AD上的一個動點，點F、G、H分別為BE、BC、CE的中點．
（1）當點E運動到什么位置時，四邊形EFGH是菱形，說明理由；
（2）當四邊形EFGH是正方形時，說明線段EG和BC的關系．（不用證明）

Answer 1

解：（1）點E運動到AD的中點時，四邊形EFGH是菱形．
理由如下：
當四邊形EFGH是菱形時，EF=EH，
又∵G、F分別是BC、BE的中點，
∴BE=CE，
根據等腰梯形的對稱性，AE=DE，
即當點E運動到什么位置時，四邊形EFGH是菱形．

（2）當四邊形EFGH是正方形時，EG⊥FH，且EG=FH，
∵F、H分別是BE、CE的中點，
∴FH∥BC且FH=BC，
∴EG⊥BC且EG=BC．
分析：（1）根據菱形的四條邊都相等可得EF=EH，從而得到BE=CE，再根據等腰梯形的對稱性可得點E是AD的中點；
（2）根據正方形的對角線互相垂直且相等可得EG⊥FH且EG=FH，再根據FH是△BCE的中位線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答．
點評：本題考查了等腰梯形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的判定方法以及三角形的三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質，熟記性質與判定方法是解題的關鍵．