Question

已知：在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，點E、F分別在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD，試探究AE與EF之間的數量關系．
（1）如圖1，若AB=BC=AC，則AE與EF之間的數量關系是什么；
（2）如圖2，若AB=BC，你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出猜想，并加以證明；
（3）如圖3，若AB=kBC，你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出猜想不用證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）中所給的是最特殊的一種情況，但對整個題來說，要從（1）中找到基本的解題思路，此題難的是構造全等三角形，從而證明線段相等．雖然（1）中沒有要求步驟，但能正確的解出（1）可以給（2）和（3）定一個基調；
（2）是將（1）中的等邊三角形變為等腰三角形，但起關鍵作用的條件沒變，任然可以仿照（1）中的方法去做；
（3）中將三角形變為更一般的三角形，但和（1）比較起來還是有兩個條件沒變，而利用這兩個條件能證明兩個三角形相似，從而利用相似的對應邊成比例得出結論．
解答：解：（1）AE=EF；
證明：如圖1，過點E作EH∥AB交AC于點H．
則∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC=AC，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°，
∴EH=EC．
∵AD∥BC，
∴∠FCE=180°-∠B=120°，
又∵∠AHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠AHE=∠FCE，
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，
∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；


（2）猜想：（1）中的結論是沒有發生變化．
證明：如圖2，過點E作EH∥AB交AC于點H，則∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB，
∴EH=EC
∵AD∥BC，
∴∠D+∠DCB=180°．
∵∠BAC=∠D，
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，
∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；

（3）猜想：（1）中的結論發生變化．
證明：如圖3，過點E作EH∥AB交AC于點H．
由（2）可得∠EAC=∠EFC，
∵AD∥BC，∠BAC=∠D，
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF，
∴△AEH∽△FEC，
∴AE：EF=EH：EC，
∵EH∥AB，
∴△ABC∽△HEC，
∴EH：EC=AB：BC=k，
∴AE：EF=k，
∴AE=kEF．
點評：主要考查了全等三角形的判定．本題三問由特殊到一般，注意比較它們之間的異同，關鍵抓住不變量，從而得出結論．本題難度很大．