Question

【題目】已知和是兩個等腰直角三角形，.連接，是的中點，連接、．

(1)如圖，當與在同一直線上時，求證：；

(2)如圖，當時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；

（2）證明見詳解

【解析】

（1）如圖所示，延長BM交EF于點D，延長AB交CF于點H，證明為△BED是等腰直角三角形和M是BD的中點即可求證結論；

（2）如圖所示，做輔助線，推出BM、ME是中位線進而求證結論．

證明（1）如圖所示，延長BM交EF于點D，延長AB交CF于點H

易知：△ABC和△BCH均為等腰直角三角形

∴AB＝BC＝BH

∴點B為線段AH的中點

又∵點M是線段AF的中點

∴BM是△AHF的中位線

∴BM∥HF

即BD∥CF

∴∠EDM＝∠EFC＝45°

∠EBM＝∠ECF＝45°

∴△EBD是等腰直角三角形

∵∠ABC＝∠CEF＝90°

∴AB∥EF

∴∠BAM＝∠DFM

又M是AF的中點

∴AM＝FM

在△ABM和△FDM中

∴△ABM≌△FDM(ASA)

∴BM＝DM，M是BD的中點

∴EM是△EBD斜邊上的高

∴EM⊥BM

（2）如圖所示，延長AB交CE于點D，連接DF，易知△ABC和△BCD均為等腰直角三角形

∴AB＝BC＝BD，AC＝CD

∴點B是AD的中點，

又∵點M是AF的中點

∴BM＝DF

延長FE交CB于點G，連接AG，易知△CEF和△CEG均為等腰直角三角形

∴CE＝EF＝EG，CF＝CG

∴點E是FG的中點，

又∵點M是AF的中點

∴ME＝AG

在△ACG與△DCF中，

∴△ACG≌△DCF（SAS）

∴DF＝AG

∴BM＝ME