Question

（2001•陜西）已知△ABC內(nèi)接⊙O．
（1）當(dāng)點(diǎn)O與AB有怎樣的位置關(guān)系時(shí)，∠ACB是直角；
（2）在滿足（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)C作直線交AB于D，當(dāng)CD與AB有什么樣的關(guān)系時(shí)，△ABC∽△CBD∽△ACD
（3）畫出符合（1）（2）題意的兩種圖形，使圖形中的CD=2cm．

Answer 1

【答案】分析：（1）要保證∠ACB是直角，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，則AB應(yīng)是直徑，即點(diǎn)O在AB上；
（2）若要這三個(gè)三角形相似，則需要∠ABC=∠ACD，則可以得到CD應(yīng)垂直于AB；
（3）根據(jù)射影定理，則CD=2，得AD•BD=4，所以可以讓AD=3，BD=1．
解答：解：（1）若要使∠ACB=90°，
則根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，
可得AB應(yīng)是直徑，
即點(diǎn)O應(yīng)在AB上；

（2）若要△ABC∽△CBD∽△ACD，
則∠ABC=∠ACD．
又∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B+∠BCD=90°．
則CD⊥AB．

（3）根據(jù)上述結(jié)論，可以讓AD=3，BD=1或AD=1，BD=3（如圖1和2）．
點(diǎn)評(píng)：考查了圓周角定理的推論，掌握相似三角形的性質(zhì)．能夠根據(jù)要滿足的結(jié)論分析應(yīng)滿足的條件．