Question

23、如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于F，且
AF=BD，連接BF．
（1）求證：D是BC的中點．
（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）因為AF∥BC，E為AD的中點，即可根據AAS證明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；
（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四邊形AFDC是平行四邊形，又因為AD=CF，故可根據對角線相等的平行四邊形是矩形進行判定．

解答：（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE（1分）
∵E是AD的中點，
∴AE=DE．（2分）
∵∠AEF=∠DEC，
∴△AEF≌△DEC．（3分）
∴AF=DC，
∵AF=BD
∴BD=CD，
∴D是BC的中點；（4分）

（2）四邊形AFBD是矩形，（5分）
∵AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，（6分）
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，（7分）
∴四邊形AFBD是矩形．

點評：本題考查矩形的判定和全等三角形的判定與性質．要熟知這些判定定理才會靈活運用，根據性質才能得到需要的相等關系．