Question

問題背景: 如圖（a），點A、B在直線l的同側，要在直線l上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關于l的對稱點B′，連接AB′與直線l交于點C，則點C即為所求．

實踐運用： 如圖(b)，已知，⊙O的直徑CD為4，點A 在⊙O 上，∠ACD = 30°，B 為弧AD 的中點，P為直徑CD上一動點，求：PA+ PB的最小值，并寫出解答過程．

知識拓展：如圖(c)，在菱形ABCD中，AB = 10，∠DAB= 60°，P是對角線AC上一動點，E、F分別是線段AB和BC上的動點，則PE +PF的最小值是      ．（直接寫出答案）

 

 

Answer 1

【答案】

實踐運用：； 知識拓展：.

【解析】

試題分析：實踐運用：找點A或點B關于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置，根據題意先求出∠C′AE，再根據勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；知識拓展：當點E（E′）關于AC對稱點E″與P、F（F′）三點共線且與AD垂直時，易求E″F（F′）的長為.

試題解析：實踐運用：如圖作點B關于CD的對稱點E，連接AE交CD于點P，此時PA+PB最小，且等于A。作直徑AC′，連接C′E，

 根據垂徑定理得弧BD=弧DE.

∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°. ∴∠AOE=90°. ∴∠C′AE=45°.

又AC為圓的直徑，∴∠AEC′=90°.

∴∠C′=∠C′AE=45°. ∴C′E=AE=AC′=.

∴AP+BP的最小值是.

知識拓展：如圖所示，當點E（E′）關于AC對稱點E″與P、F（F′）三點共線且與AD垂直時，PE+PF有最小值．

易證四邊形BME″F′為矩形，則BM=E″F′.

在Rt△ABM中，AB=10，∠BAD=60°，∴E″F=BM=AB•sin∠BAD=.

考點：1.軸對稱的應用（最短路線問題）；2.圓周角定理；3.垂徑定理；4.等腰直角三角形的性質；5. 菱形的性質；6. 矩形的判定和性質；7.銳角三角函數定義；8.特殊角的三角函數值.