Question

問題背景：如圖，點C是半圓O上一動點（點C與A、B不重合），AB=2，連接AC、BC、OC，將△AOC沿直線AC翻折得△ADC，點、E、F、G、H分別是DA、AO、OC、CD的中點．
（1）猜想證明：猜想四邊形AOCD以及四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論；
（2）拓展探究：探究點C在半圓弧上哪個位置時，四邊形EFGH面積最大？求出這個最大值，判斷此時四邊形EFGH的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據翻折變換的性質得出AO=AD，CO=CD，由菱形的判定定理得出四邊形AOCD是菱形，再根據三角形中位線定理得出FG平行且等于EH，進而可判斷出四邊形EFGH是矩形；
（2）根據AB為半圓O的直徑得出∠ACB=90°，可判斷出四邊形AOCD是菱形，再根據菱形的性質及AO=OB判斷出四邊形OBCD是平行四邊形，DO平行且等于BC，進而可求出矩形EFGH的面積，可知當點C位于半圓弧中點時，AB邊上的高最大此時S_△ACB的最大值為1，S_矩形EFGH的最大值為

1

2

，進而可判斷出矩形EFGH是正方形．

解答：解：（1）四邊形AOCD是菱形；四邊形EFGH是矩形．證明如下：
由翻折可得AO=AD，CO=CD．
∵OA=OC，
∴AO=OC=CD=DA．
∴四邊形AOCD是菱形；（3分）
∴AC⊥OD．
又∵EF是△AOD的中位線，
∴EF∥OD，且EF=

1

2

OD，
同理可得FG∥AC，且FG=

1

2

AC，EH∥AC，
且EH=

1

2

AC，
∴FG平行且等于EH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，且FG⊥EF，
∴四邊形EFGH是矩形．（6分）

（2）∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
∵四邊形AOCD是菱形，
∴DC平行且等于OA，
又∵AO=OB，
∴DC平行且等于OB，
∴四邊形OBCD是平行四邊形，
∴DO平行且等于BC，
∴S_矩形EFGH=EF•EH=

1

2

OD•

1

2

AC=

1

4

BC•AC=

1

2

×S_△ACB，（8分）
∴當點C位于半圓弧中點時，AB邊上的高最大，
即S_△ACB的最大值為1．
∴S_矩形EFGH的最大值為

1

2

．此時AC=BC，
∴AC=OD．
∴EF=FG，
∴矩形EFGH是正方形．（10分）

點評：本題考查的是圖形的翻折變換、圓周角定理、三角形的中位線定理、菱形的判定與性質、矩形的判定與性質，涉及面較廣，難度較大．