Question

某產品每件成本10元，（物價局規定該商品的售價不高于20元）試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：

x（元）	15	20	30	…
y（件）	25	20	10	…

（1）猜想日銷售量y（件）與銷售價x（元）成______函數關系，并求該函數解析式；
（2）求出日利潤W（元）與售價x（元/件）之間的函數解析式；
①要使每日銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日的銷售利潤是多少元？
②為每天獲得200元利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？

Answer 1

解：（1）設此一次函數關系式為y=kx+b，
則，
解得k=-1，b=40，
故一次函數的關系式為y=-x+40．

（2）設所獲利潤為W元，
則W=（x-10）（40-x）=-x²+50x-400
①W=-x²+50x-400
=-（x-25）²+225，
所以產品的銷售價應定為25元，此時每日的銷售利潤為最大為225元．
②由-x²+50x-400=200，
解得x₁=60，x₂=-10舍去．
所以每天獲得利潤為200元時，每件產品的銷售價為60元．
分析：（1）本題屬于市場營銷問題，利用銷售利潤=一件利潤×銷售件數，一件利潤=銷售價-成本，得出日銷售量y是銷售價x的一次函數；所獲利潤W為二次函數；
（2）①運用二次函數的性質，利用配方法可求最大利潤；
②W=215，代入函數解析式，得出關于x的一元二次方程解決問題．
點評：此題考查一次函數與二次函數的實際運用，注意求最大值的方法和二次函數與一元二次方程之間的聯系．