Question

半徑為R的圓內接正三角形的面積是（　　）

• A、

  3

  2

  R²
• B、πR²
• C、

  3 3

  2

  R²
• D、

  3 3

  4

  R²

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，先求出正三角形的中心角及邊心距，再根據三角形的面積公式求解即可．

解答：解：如圖所示，過O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC=

360°

3

=120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD=

1

2

×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD=

R

2

，BD=OB•cos30°=

3 R

2

，
∴BC=2BD=2×

3 R

2

=

3

R，
∴S_△BOC=

1

2

×BC×OD=

3 R

2

×

R

2

=

3 R2

4

，
∴S_△ABC=3×

3 R2

4

=

3 3

4

R²．
故選D．

點評：本題考查圓的內接正三角形的性質及等邊三角形的面積的計算．
規律與趨勢：圓的內接正三角形的計算是圓中的基本計算，正三角形的相關性質則是解決這類問題的關鍵．其中，已知邊長求面積，已知高求面積等都是常見的計算．