Question

（9分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC,AB=1,BC=,對角線AC、BD相交于點0，將直線AC繞點0順時針旋轉，分別交BC、AD于點E、F.

（1）求證：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF為平形四邊形；

（2）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由，并求出此時AC繞點0順時針旋轉的度數.

 

Answer 1

證明:(1)如圖1,∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD∥BC,即AF∥BE.  ……1分

當旋轉角為90⁰時,AC⊥EF,又AB⊥AC, ∴AB∥EF.       …………………………2分

∴四邊形ABEF是平行四邊形.                       …………………………3分

(2)在旋轉過程中, 當EF⊥BD時,四邊形BEDF可以是菱形.理由如下:   ……4分

如圖2,∵四邊形ABCD是平行四邊形,由平行四邊形的中心對稱性可得:OF=OE,OB=OD,

 ∴四邊形BEDF是平行四邊形.又EF⊥BD, ∴四邊形BEDF是菱形.   ……………6分

在Rt△ABC中,由勾股定理可得:AC=,∴OA=.

 

∴OA=AB=1,又∠BAC=90⁰,即△ABO為等腰直角三角形, ∴∠AOB=45⁰.     ………8分

∵EF⊥BD, ∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=90⁰, ∴∠AOF=45⁰.

即:當AC繞點O順時針旋轉45⁰時,四邊形BEDF是菱形.  …………………………9分

解析:略