Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC切于點D，直線ED交BC的延長線于F．
（1）求證：BC=FC；
（2）若AD：AE=2：1，求cot∠F的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接BD，由等角的余角相等，易證得∠F=∠EBD．由弦切角定理，易證得∠F=∠CDF．可得CD=CF，又由切線長定理，可得CD=CB，繼而可證得BC=FC；
（2）易證得△ADE∽△ABD，然后由相似三角形的對應邊成比例，可求得BD：DE=2：1，又由∠F=∠EBD．可求得cot∠F=cot∠EBD==2．
解答：（1）證明：連接BD．（1分）
∵BE是直徑，
∴∠BDE=90°，
∴∠EBD=90°-∠BED．
∵∠EBF=90°
∴∠F=90°-∠BEF．
∴∠F=∠EBD．（2分）
∵⊙O切AC于D，
∴∠EBD=∠ADE=∠CDF．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF，（3分）
∵OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線，
由切線長定理可知：CD=CB．
∴BC=FC．（4分）

（2）解：在△ADE和△ABD中，
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABD，
∴△ADE∽△ABD．（6分）
∴，
∵AD：AE=2：1．
∴BD：DE=2：1，
又∵∠F=∠EBD．
∴cot∠F=cot∠EBD==2．（9分）
點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、弦切角定理、切線長定理以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．