Question

如圖所示，是的內接三角形，， 為中弧AB上一點，延長至點，使．

（1）求證：；
（2）若，求證：．

Answer 1

(1)詳見解析；（2）詳見解析.

試題分析：(1)由題意知，⊿ABC和⊿ECD都是等腰三角形，根據“同弧所對的圓周角相等”可知，∠ABC=∠ADC,由此可得，∠ACE=∠BCD,結合已知條件，利用“SAS”可證⊿ACE≌⊿BCD,所以有AE=BD.(2)若AC⊥BC,則有（1）的結論可知，∠DCE=90°，DE=AD+BD,又已知CD=CE,所以三角形DCE是等腰直角三角形，DE=CD,所以得證.規律：在解決圓中的線段相等關系或角相等時，常常要借助于三角形全等.

試題解析：證明：(1)由同弧所對的圓周角相等，知∠∠.
∵,,∴ ∠∠∠∠，
∴ ∠∠,
∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD
即：∠∠.
又∵,,
∴ △≌△. ∴         5分
(2) ∵ ，∴
∵ ,∴ ∠, ∴ ∠∠.
由勾股定理，得
又∵, ∴ ，∴ ,
∴ .     10分