Question

如圖，AB為半圓O的直徑，OC⊥AB交⊙O于C，P為BC延長線上一動點，D為AP中點，DE⊥PA，交半徑OC于E，連CD．下列結論：①PE⊥AE；②DC=DE；③∠OEA=∠APB；④PC+CE為定值．其中正確結論的個數為（ ）

A．l個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①根據三角形外心的定義得到點E是△ABP的外心，然后利用同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半可以證明PE⊥AE．②根據直徑所對的圓周角是直角以及①的結論，可以知道點C和點E在以點D為圓心的同一個圓上，得到DC=DE．③根據垂徑定理得到∠AEO=∠AEB，然后用圓周角定理得到∠APB=∠AEO．④利用③的結論，結合圖形，在直角三角形中用余弦進行計算得到PC+CE=OC，是圓的半徑的倍，是一個定值．
解答：解：①如圖：∵點D是AP的中點，且DE⊥AP，∴DE是AP的垂直平分線，
又AB是半⊙O的直徑，OC⊥AB，∴OC是AB的垂直平分線，
∴點E是△ABP的外心，
∵∠ABC=45°，∴∠AEP=90°（同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半）
∴PE⊥AE，故①正確．
②∵AB是半⊙O的直徑，∴∠ACB=90°=∠ACP=∠AEP，
∴點C和點E在以點D為圓心的同一個圓上，∴DC=DE，故②正確．
③由①知點E是△ABP的外心，∴∠APB=∠AEB=∠AEO，故③正確．
④在直角△APC中，PC=AP•cos∠APC=AE•cos∠AE0=AE•=OE，
∴PC+CE=OE+CE=（OE+CE）=OC，
∴PC+CE為定值，是⊙O半徑的倍．故④正確．
故選D．
點評：本題考查的是圓周角定理的綜合運用，結合圖形，利用圓周角定理，對每個選項進行分析，作出正確的判斷．