Question

如圖，AB為半圓O的直徑，B₁，B₂，…，B_k是半圓上的k個點，滿足BB₁=B₁B₂=…B_k-1B_k，對于線段OB₁，OB₂，…，OB_k，AB₁，AB₂，…，AB_k，當k=4時，有

 

對互相平行的線段；當k取任意大于1的整數時，試探索這2k條線段中有多少對互相平行的線段，寫出你的結論：

 

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Answer 1

分析：由BB₁=B₁B₂=…B_k-1B_k，得到弧BB₁=弧B₁B₂=…弧B_k-1B_k，當k=4時，可得∠B₁AO=∠B₁=∠B₁AB₂，得到OB₁∥AB₂，同理可得OB₂∥AB₄；
當k取任意大于1的整數時，①當k為偶數時，有

k

2

對互相平行的線段；②當k為奇數時，有

k-1

2

對互相平行的線段．

解答：解：∵BB₁=B₁B₂=…B_k-1B_k，
∵弧BB₁=弧B₁B₂=…弧B_k-1B_k，
當k=4時，
∴∠B₁AO=∠B₁=∠B₁AB₂，
∴OB₁∥AB₂，
同理可得OB₂∥AB₄，
∴有兩對互相平行的線段；
當k取任意大于1的整數時，①當k為偶數時，有

k

2

對互相平行的線段；②當k為奇數時，有

k-1

2

對互相平行的線段．
故答案為：兩；當k為偶數時，有

k

2

對互相平行的線段，當k為奇數時，有

k-1

2

對互相平行的線段．

點評：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等．也考查了平行線的判定．