Question

（1）一元二次方程x²-2x+1=0的兩根是x₁=

1

，x₂=

1

；2x²-3x+1=0的兩根是x₁=

1

，x₂=

1

2

；6x²+7x+2=0的兩根是x₁=

-

1

2

，x₂=

-

2

3

．
（2）由（1）中一元二次方程的兩根，請你猜想：若一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實數根x₁，x₂與系數a，b，c之間的關系是：x₁+x₂=

-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
（3）設一元二次方程2x²-5x+1=0的兩根分別為x₁，x₂，不解方程，利用（2）中的結論，求

x1

x2

+

x2

x1

的值．

Answer 1

分析：（1）第一個方程左邊利用完全平方公式分解因式，第二、三個方程利用十字相乘法分解因式，然后分別利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到各自的解；
（2）求出每一個方程的兩根之和與兩根之積，歸納總結得到一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根之和與兩根之積即可；
（3）找出方程中的a，b及c的值，利用第二問猜想的結論，求出x₁+x₂與x₁x₂的值，然后將所求式子通分并利用同分母分式的加法法則變形后，把x₁+x₂與x₁x₂的值代入即可求出值．

解答：解：（1）方程x²-2x+1=0，分解因式得：（x-1）²=0，
開方得：x-1=0，
解得：x₁=x₂=1；
方程2x²-3x+1=0，分解因式得：（2x-1）（x-1）=0，
可得：2x-1=0或x-1=0，
解得：x₁=1，x₂=

1

2

；
方程6x²+7x+2=0，分解因式得：（3x+2）（2x+1）=0，
可得：3x+2=0或2x+1=0，
解得：x₁=-

1

2

，x₂=-

2

3

；

（2）方程x²-2x+1=0的x₁+x₂=2=-

-2

1

，x₁x₂=1=

1

1

；
方程2x²-3x+1=0的x₁+x₂=

3

2

=-

-3

2

，x₁x₂=

1

2

；
方程6x²+7x+2=0的x₁+x₂=-

7

6

，x₁x₂=

1

3

=

2

6

，
則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實數根x₁，x₂，
有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

；

（3）∵x₁+x₂=-

-5

2

=

5

2

，x₁x₂=

1

2

，
∴

x1

x2

+

x2

x1

=

(x 1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

21

2

．
故答案為：（1）1，1；1，

1

2

；-

1

2

，-

2

3

；（2）-

b

a

，

c

a

點評：此題考查了根與系數的關系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當b²-4ac＜0時，方程無解；當b²-4ac≥0時，方程有解，當方程有解時，設方程兩解分別為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．