Question

已知關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0.

（1）求證：方程有兩個不相等的實數根.

（2）若△ABC的兩邊AB,AC的長是方程的兩個實數根,第三邊BC的長為5.當△ABC是等腰三角形時，求k的值.

Answer 1

分析：（1）證明這個一元二次方程的根的判別式大于0，根據一元二次方程的根的判別式的性質得到這個方程有兩個不相等的實數根；（2）求出方程的根，根據等腰三角形的判定分類求解.

（1）證明：∵ 關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0中，a=1,b=-（2k+1）,c=k²+k，

∴ Δ=b²-4ac=［-（2k+1）］²-4×1×（k²+k）＝1＞0.

∴ 方程有兩個不相等的實數根.

（2）解：∵ 由x²-（2k+1）x+k²+k=0，得（x-k）［x-（k+1）］=0，

∴ 方程的兩個不相等的實數根為x₁=k,x₂=k+1.

∵ △ABC的兩邊AB，AC的長是方程的兩個實數根，第三邊BC的長為5，∴ 有如下兩種情況：

情況1：x₁=k=5，此時k=5，滿足三角形構成條件；

情況2：x₂=k+1＝5，此時k=4，滿足三角形構成條件.

綜上所述，k=4或k=5.

點撥：一元二次方程根的情況與判別式Δ的關系：

（1）Δ＞0方程有兩個不相等的實數根；

（2）Δ=0方程有兩個相等的實數根；

（3）Δ＜0方程沒有實數根.