Question

如圖，已知點A(?3，5)在拋物線y=x²+c的圖象上，點P從拋物線的頂點Q出發，沿y軸以每秒1個單位的速度向正方向運動，連結AP并延長，交拋物線于點B，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足為C、D，連結AQ、BQ．
【小題1】求拋物線的解析式；
【小題2】當A、Q、B三點構成以AQ為直角邊的直角三角形時，求點P離開點Q多少時間？
【小題3】試探索當AP、AC、BP、BD與一個平行四邊形的四條邊對應相等（即這四條線段能構成平行四邊形）時，點P離開點Q的時刻．

Answer 1

【小題1】
【小題2】2或
【小題3】和4解析:
解：（1）把A（?3，5）代入得：5=´9+c，··········· 1’
∴c=．                                  2’
（2）①若AQ⊥BQ，過點Q作MN⊥y軸，
可證△AMQ∽△QNB．
∵AM=AC?MC=，MQ=3，
∴．
設B（3k，2k+），
代入拋物線解析式得：k=，即B（，）．·········· 3’
∴直線AB的解析式為：．
∴OP=，∴PQ=2．······················· 4’
②若AQ⊥AB，
∵AC∥PQ，可證△AMQ∽△QAP，
又由勾股定理得AQ=．
∴PQ=．········· 6’
∴對應的時刻t為：2或．

（3）①若AC=BD，AP=BP，
此時點A與點B關于y軸對稱，
∴OP=AC=5，
∴PQ=4．·························· 8’
②若AC=AP，
設P（0，y），則：9+(y?5)²=25，
解之得，y=1，即OP=1．
∴PQ=．··························· 9’
此時，直線AP解析式為：．
與拋物線的交點B為（，），
∴PB==BD．···················· 10’
∴滿足條件的時刻為：和4