Question

給定方程組

1 x + 1 y =1 1 y + 1 z =2 1 z + 1 x =5

，如果令

1

x

=A，

1

y

=B，

1

z

=C，則方程組

A+B=1 B+C=2 A+C=5

由此解得

x=2 y=-1 z=3

，對(duì)不對(duì)，為什么？

Answer 1

分析：此題用換元法，將分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來(lái)解答，應(yīng)解得

A=2 B=-1 C=3

；然后將A、B、C的值倒過(guò)來(lái)，解出x、y、z解出來(lái)．

解答：解：不對(duì)，沒(méi)有把解倒過(guò)來(lái)，應(yīng)該為x=

1

2

，y=-1，z=

1

3

．
正確的解答過(guò)程為：

1 x + 1 y =1 1 y + 1 z =2 1 z + 1 x =5

，
設(shè)

1

x

=A，

1

y

=B，

1

z

=C，
則原方程化為：

A+B=1 B+C=2 A+C=5

，
解得：

A=2 B=-1 C=3

，
∴x=

1

2

，y=-1，z=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．