Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連結EF、EO，若DE=，∠DPA=45°．

（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）2；（2）．

試題分析：（1）根據垂徑定理得CE的長，再根據已知DE平分AO得CO=AO=OE，解直角三角形求解．
（2）先求出扇形的圓心角，再根據扇形面積和三角形的面積公式計算即可．
試題解析：（1）∵直徑AB⊥DE，∴CE=DE=．∵DE平分AO，∴CO=AO=OE．又∵∠OCE=90°，∴sin∠CEO==，∴∠CEO=30°．在Rt△COE中，OE==．∴⊙O的半徑為2．
（2）連接OF．在Rt△DCP中，∵∠DPC=45°，∴∠D=90°﹣45°=45°．∴∠EOF=2∠D=90°．∴S_扇形OEF=．∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，∴S_Rt△OEF=×OE×OF=2．∴S_陰影=S_扇形OEF﹣S_Rt△OEF=．