Question

已知代數式M=（a+b+1）x³+（2a-b）x²+（a+3b）x-5是關于x的二次多項式．
（1）若關于y的方程3（a+b）y=ky-8的解是y=4，求k的值；
（2）若當x=2時，代數式M的值為-39，求當x=-1時，代數式M的值．

Answer 1

解：（1）∵代數式M=（a+b+1）x³+（2a-b）x²+（a+3b）x-5是關于x的二次多項式，
∴a+b+1=0，且2a-b≠0，
∵關于y的方程3（a+b）y=ky-8的解是y=4，
∴3（a+b）×4=4k-8，
∵a+b=-1，
∴3×（-1）×4=4k-8，
解得k=-1；

（2）∵當x=2時，代數式M=（2a-b）x²+（a+3b）x-5的值為-39，
∴將x=2代入，得4（2a-b）+2（a+3b）-5=-39，
整理，得10a+2b=-34，
，
由②，得5a+b=-17③，
③-①，得4a=-16，
系數化為1，得a=-4，
把a=-4代入①，解得b=3，
∴原方程組的解為，
∴M=[2×（-4）-3]x²+（-4+3×3）x-5=-11x²+5x-5．
將x=-1代入，得-11×（-1）²+5×（-1）-5=-21．
分析：（1）根據二次多項式的定義表示出a、b的關系，再把y=4代入方程得到關于k的一元一次方程，然后求解即可；
（2）把x=2代入M得到一個關于a、b的方程，然后聯立a+b=-1解方程組求出a、b的值，然后求出M，再把x=-1代入M進行計算即可得解．
點評：本題考查了代數式求值，多項式以及一元一次方程的解的定義，根據“二次多項式”的定義得到a+b=-1是解題的關鍵．