Question

如圖，在△ABC中，三個內角的角平分線交于點O，OE⊥BC于點E．
（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度數；
（2）求證：∠BOD=∠COE．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的定義及三角形內角和定理解答即可；
（2）先根據三角形內角與外角的關系求出∠BOD與∠BCO的關系，再根據OE⊥BC解答即可．

解答：（1）解：∵AD、BM、CN分別是△ABC的三個內角的角平分線，
∴∠ABO=

1

2

∠ABC，∠BCO=

1

2

∠ACB，∠CAO=

1

2

∠CAB．
又∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，
∴∠ABO+∠BCO+∠CAO=

1

2

（∠ABC+∠ACB+∠CAB）=

1

2

×180°=90°；

（2）證明：∵∠BOD=∠BAO+∠ABO，∠BAO=∠CAO，
∴∠BOD=∠CAO+∠ABO=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠ACB）=90°-

1

2

∠ACB=90°-∠BCO．
又∵OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠COE=90°-∠ECO．
∴∠BOD=∠COE．

點評：本題考查的知識點為三角形內角和定理、角平分線的性質及直角三角形的性質，有一定的綜合性但難度適中．