Question

已知關于x的方程x²+（4k+1）x+2k-1=0．
（1）求證：此方程一定有兩個不相等的實數根；
（2）若x₁，x₂是方程的兩個實數根，且（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）需證得根的判別式恒為正值．
（2）（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=2k-3，依據根與系數的關系，列出關于k的方程求解則可．
解答：（1）證明：△=b²-4ac
=（4k+1）²-4（2k-1）
=16k²+8k+1-8k+4=16k²+5，
∵k²≥0，∴16k²≥0，∴16k²+5＞0，
∴此方程有兩個不相等的實數根．

（2）解：根據題意，得x₁+x₂=-（4k+1），x₁x₂=2k-1，
∴（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4
=（2k-1）+2（4k+1）+4=2k-1+8k+2+4=10k+5
即10k+5=2k-3，
∴k=-1．
點評：本題考查了一元二次方程根與系數的關系及根的判別式，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．