Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△COD關于CD的對稱圖形為△CED．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）連接AE，交CD于點M，連接OM，取OM的中點F，連接EF．

①根據題意補全圖形；

②若∠ACD=30°，請用等式表示線段CM、DE、EF之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①見解析；②DE2+CM2=4EF2．證明見解析.

【解析】

（1）根據四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．

（2）①根據要求圖形即可．

②線段CM、DE、EF之間的數量關系是：DE2+CM2=4EF2．取CM的中點P，連接PF，PE，OE，首先證明四邊形AOED是菱形，推出PM是△OCD的中位線，再根據勾股定理即可解決問題．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC與BD相等且互相平分，

∴OC=OD，

∵△COD關于CD的對稱圖形為△CED，

∴OD=ED，EC=OC，

∴OD=ED=EC=OC，

∴四邊形OCED是菱形．

（2）①如圖．

②線段CM、DE、EF之間的數量關系是：DE2+CM2=4EF2．

證明：取CM的中點P，連接PF，PE，OE，

∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADC=90°

∵∠ACD=30°，

∴∠OAD=∠ADC-∠ACD=60°

∵AO=OD，

∴△AOD是等邊三角形，

∴AD=AO，

∵四邊形OCED是菱形，

∴DE=OC，∠OCD=∠ECD=30°，OD∥EC，

∴四邊形AOED是菱形，

∴AE⊥OD，

∴EN⊥CE，即∠NEC=90°，

∵PM是△OCD的中位線，

∴PF=OC，PF∥OC，

∴∠OCD=∠FPM=30°，

∵P是CM的中點，

∴PE=PC=MC，

∴∠PCE=∠PEC=30°，

∴∠EPM=30°，

∴∠FPE=∠EPM+∠FPM=90°，

根據勾股定理得：PE2+PF2=EF2，

即：（CM）2+（OC）2=EF2，

∴DE2+CM2=4EF2．