Question

觀察下列式子

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…根據上述規律計算：

a

1×2

+

a

2×3

+

a

3×4

+…+

a

2010×2011

，并求出當a=2011時，上式的值．

Answer 1

分析：先由已知等式，得出規律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，再將所求式子提取公因式a，變形為a（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

），然后利用得出的規律，化簡括號內的式子，最后將a=2011代入，計算即可求解．

解答：解：∵當n=1時，

1

1×2

=1-

1

2

，
當n=2時，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，
當n=3時，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
…
∴當n=n時，

1

n(n-1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴

a

1×2

+

a

2×3

+

a

3×4

+…+

a

2010×2011

=a（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

）
=a（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2010

-

1

2011

）
=a（1-

1

2011

）
=

2010

2011

a，
當a=2011時，原式=

2010

2011

×2011=2010．

點評：此題主要考查了規律型：數字的變化類及有理數的混合運算，解題時首先觀察，分析歸納出題目中隱含的規律，然后利用規律把題目變形，從而使計算變得比較簡便．