Question

兩個全等的Rt△ABC和Rt△DEF重疊在一起，其中∠A=60°，∠ACB=∠DFE=90°且AC=1．固定△ABC不動，將△DEF作如下操作：
（1）如圖1，△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內移動），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的面積會變嗎？若不變請求出其面積；

（2）如圖2，當D點移到AB中點時，連接DC、CF、FB，BC與DF相交于點O．除Rt△ABC≌Rt△DEF外，請找出圖中其他所有全等三角形，不必寫理由；
（3）如圖3，△DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉△DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，連接AE，求：sin∠α的值．

Answer 1

分析：（1）根據三角形全等和同底等高的三角形面積相等，找出面積相等的圖形；
（2）根據全等三角形的判定定理解答；
（3）根據三角函數的概念解答．

解答：解：（1）因為S_{四邊形CDBF}=S_三角形CDF+S_三角形FDB=S_三角形CAD+S_三角形CDB=S_△ABC，
所以四邊形CDBF的面積不會變．
S_{四邊形CDBF}=S_△ABC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

（2）△COD≌△BOD≌△BOF≌△COF；
△ACD≌△FCD≌△BFD；
△BCD≌△BCF≌△EFB．

（3）過D點作DH⊥AE于H，在Rt△ABE中，AE=

AB2+BE2

=

7

，
∵∠DAH=∠EAB，∠DHA=∠ABE=90°，
∴△ADH∽△AEB得

DH

BE

=

AD

AE

，即

DH

3

=

1

7

，解得DH=

21

7

，
而DE=AB=2，在Rt△DHE中，sin∠α=

DH

DE

=

21

7

÷2=

21

14

．

點評：此題是一個動點問題，雖然圖形發生了變化，但根據同底同底等高的三角形面積相等，找到面積相等的三角形．