Question

（2013•石景山區一模）如圖，把兩個全等的Rt△AOB和Rt△ECD分別置于平面直角坐標系xOy中，使點E與點B重合，直角邊OB、BC在y軸上．已知點D （4，2），過A、D兩點的直線交y軸于點F．若△ECD沿DA方向以每秒

2

個單位長度的速度勻速平移，設平移的時間為t（秒），記△ECD在平移過程中某時刻為△E′C′D′，E′D′與AB交于點M，與y軸交于點N，C′D′與AB交于點Q，與y軸交于點P（注：平移過程中，點D′始終在線段DA上，且不與點A重合）．
（1）求直線AD的函數解析式；
（2）試探究在△ECD平移過程中，四邊形MNPQ的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及t的取值；若不存在，請說明理由；
（3）以MN為邊，在E′D′的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH與坐標軸有兩個公共點時t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出A、D兩點的坐標，求得解析式即可；
（2）求出直線AB、BD、E′D′的解析式，利用平移的性質，由△MQD′∽△BJD，得出S_△MQD′，表示出四邊形MNPQ的面積，利用二次函數求得最大值；
（3）求出正方形MNRH與坐標軸有兩個公共點時點H在x軸上時，有M（t，4-2t）橫縱坐標相等求得問題的解．

解答：解：（1）由題意A（2.0），
由D（4，2），
可得直線AD解析式：y=x-2；
（2）在△ECD平移過程中，四邊形MNPQ的面積存在最大值，

理由如下：
由B（0，4），
可得直線AB解析式：y=-2x+4，
直線BD解析式：y=-

1

2

x+4，J（1，2）．
在△ECD平移t秒時，由∠CDF=45°，
可得D′（4-t，2-t），N（0，4-

3

2

t），
設直線E′D′解析式為：y=-

1

2

x+4-

3

2

t，
可得M（t，4-2t），
Q（

t+2

2

，2-t），P（0，2-t）
由△MQD′∽△BJD，得

S△MQD′

S△BJD

=(

3- 3 2 t

3

)2，
可得S_△MQD′=3(1-

1

2

t)2，
S_{梯形E′C′PN}=

1

2

t(2+2-

1

2

t)=-

1

4

t2+2t，
S_{四邊形MNPQ}=S_{△E′C′D′-} S_△MQD′- S_{梯形E′C′PN}

=- 1 2 t2+t+1 =- 1 2 (t-1)2+ 3 2

∴當t=1時，S_最大=

3

2

；
（3）當點H在x軸上時，有M（t，4-2t）橫縱坐標相等，
即t=4-2t，
∴t=

4

3

，
∴0＜t＜

4

3

．

點評：此題綜合考查平移的性質，三角形相似的性質，二次函數的性質等知識點，難度較大．