Question

（2011•西藏）已知，如圖，點A的坐標為（2，0），⊙A交x軸于點B和C，交y軸于點D（0，4），過點D的直線與x軸交于點P，且tan∠APD=

1

2

．
（1）求證：PD是⊙A的切線；
（2）判斷在直線PD上是否存在點M，使得S_△MOD=2S_△AOD？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出OA、OD，求出tan∠ADO=tan∠APD=

1

2

，得出∠ADO=∠APD，推出∠DAO+∠APD=90°，求出∠PDA=90°即可；
（2）求出AD、PD，AP，求出P的坐標，設直線PD的解析式是：y=kx+4，把P的坐標代入求出直線的解析式，設M的坐標是（x，

1

2

x+4），當M在y軸的左邊時，過M作MN⊥OD于N，根據S_△MOD=2S_△AOD，推出

1

2

×4×（-x）=2×

1

2

×2×4，求出x，求出此時M坐標，當M點在y軸的右邊時，同法可求M的橫坐標是4，代入求出即可．

解答：（1）證明：∵A（2，0）D（0，4），
∴AO=2，OD=4，
∴在Rt△ADO中，tan∠ADO=

OA

OD

=

2

4

=

1

2

，
∵tan∠APD=

1

2

，
∴∠ADO=∠APD，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO+∠APD=90°，
∴∠PDA=180°-90°=90°，
∴AD⊥PD，
∵AD是⊙A的半徑，
∴PD是⊙A的切線．

（2）解：在△ADO中，OA=2，OD=4，由勾股定理得：AD=2

5

，
在Rt△PDA中，tan∠APD=

AD

PD

=

1

2

，
即PD=4

5

，
由勾股定理得：AP=

(4 5 )2+(2 5 )2

=10，
∵OA=2，
∴OP=8，
即P（-8，0），
∵D（0，4），
∴設直線PD的解析式是：y=kx+4，
把P的坐標代入得：0=-8k+4，
解得：k=

1

2

，
∴直線PD的解析式是y=

1

2

x+4，
假如存在M點，使得S_△MOD=2S_△AOD，
設M的坐標是（x，

1

2

x+4），
如圖：
當M在y軸的左邊時，過M作MN⊥OD于N，
∵S_△MOD=2S_△AOD，
∴

1

2

×4×（-x）=2×

1

2

×2×4，
解得：x=-4，
y=

1

2

x+4=2，
即此時M坐標是（-4，2），
當M點在y軸的右邊時，同法可求M的橫坐標是4，代入y=

1

2

x+4得y=6，
此時M的坐標是（4，6），
即在直線PD上存在點M，使得S_△MOD=2S_△AOD，點M的坐標是（-4，2）或（4，6）．

點評：本題考查了切線的判定，用待定系數法求出一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，三角形的面積等知識點的應用，主要考查學生的推理和計算的能力，題目比較典型，綜合性比較強，是一道比較好的題目．注意：要分類討論啊．