Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD，CE分別是AB邊上的中線和高．
（1）求證：AE=ED；
（2）若AC=2，求△CDE的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得CD=AD，根據直角三角形的兩個銳角互余，得∠A=60°，從而判定△ACD是等邊三角形，再根據等腰三角形的三線合一的性質即可證明；
（2）結合（1）中的結論，求得CD=2，DE=1，只需根據勾股定理求得CE的長即可．
解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，CD是AB邊上的中線，
∴CD=AD=DB．
∵∠B=30°，
∴∠A=60°．
∴△ACD是等邊三角形．
∵CE是斜邊AB上的高，
∴AE=ED．

（2）解：由（1）得AC=CD=AD=2ED，
又AC=2，
∴CD=2，ED=1．
∴．
∴△CDE的周長=．
點評：此題綜合運用了直角三角形的性質、等邊三角形的判定和性質以及勾股定理．
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形的兩個銳角互余．
有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．