Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，點B的坐標是（0，8），點P從點C開始以每秒1個單位長度的速度在線段CB上向點B移動，同時，點Q從點O開始以每秒a(1≤a≤3)個單位長度的速度沿射線OA方向移動，設t(0<t≤8)秒后，直線PQ交OB于點D。

（1）求∠AOB的度數及線段OA的長
（2）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（3）當a=3，OD=時，求t的值及此時直線PQ的解析式；
（4）當a為何值時，以O、Q、D為頂點的三角形與△OAB相似？當a為何值時，以O、Q、D為頂點的三角形與△OAB不相似？請給出你的結論，并加以說明.

Answer 1

（1）∠AOB=30°，OA=8；
（2）；
（3）當a=3時，CP=t， OQ=3t，OD=，∴PB=8-t，BD=8
     由△OQD∽△BPD得，即，∴t=。
      當t=時，OQ=，同理可求Q().   
    設直線PQ的解析式為y=kx+b，則 ∴
    ∴直線PQ的解析式為；
（4）當a=1時，△ODQ∽△OBA，當1<a<3時，以O、Q、D為頂點的三角形與△OAB不能相似，
        當a=3時，△ODQ∽△OAB 理由如下：
① 若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此時PQ//AB，
       故四邊形PCOQ為平行四邊形，∴CP=OQ. 即at=t (0<t≤8)，
         ∴ a=1，故當a=1時，△ODQ∽△OBA，
②若△ODQ∽△OAB.
（Ⅰ）如果P點不與B點重合，此時必有△PBD∽△QOD.        
∴   ∴即 ∴OD=
 ∵△ODQ∽△OAB，∴，即
  ∴，∵，∴此時a>3，不符合題意.
∴即時，以O、Q、D為頂點的三角形與△OAB不能相似；
 (Ⅱ)當P與B重合時，此時D點也與B點重合.
       可知此時，t=8，由△ODQ∽△OAB得 
      ∴OB²=OA·OQ，即（8）²=8×8a，
       ∴a=3，符合題意. 故當a=3時，△ODQ∽△OAB。