Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；

（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足

△POD∽△NOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）

∴將A與B兩點坐標代入得：，解得：，

∴拋物線的解析式是y=x²﹣3x．                              

（2）設直線OB的解析式為y=k₁x，由點B（4，4），

得：4=4k₁，解得：k₁=1     ∴直線OB的解析式為y=x，

∴直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x﹣m，

∴x﹣m=x²﹣3x，    

∵拋物線與直線只有一個公共點，   ∴△=16﹣4m=0，

解得：m=4，                                               

此時x₁=x₂=2，y=x²﹣3x=﹣2， 

∴D點的坐標為（2，﹣2）．                                 

（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），

∴點A關于直線OB的對稱點A′的坐標是（0，3），

根據軸對稱性質和三線合一性質得出∠A′BO=∠ABO，

設直線A′B的解析式為y=k₂x+3，過點（4，4），

∴4k₂+3=4，解得：k₂=，    ∴直線A′B的解析式是y=，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，    ∴BA′和BN重合，即點N在直線A′B上，

∴設點N（n，），又點N在拋物線y=x²﹣3x上，

∴=n²﹣3n，    解得：n₁=﹣，n₂=4（不合題意，舍去）

∴N點的坐標為（﹣，）．            

如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，

則N₁（，），B₁（4，﹣4），

∴O、D、B₁都在直線y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，    ∴△P₁OD∽△N₁OB₁，

∴，    ∴點P₁的坐標為（，）．

將△OP₁D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點P₂（，），

綜上所述，點P的坐標是（，）或（，）．