Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．
（1）若AC=8，AB=12，求⊙O的半徑；
（2）連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設圓O的半徑為r，連接OD，由BC為圓O的切線，根據切線的性質得到OD垂直于BC，由AC垂直于BC，得到一對直角相等，再由公共角相等，利用兩對對應角相等的三角形相似，可得出三角形OBD與三角形ABC相似，由相似得比例，將AC，AB，OD及OB代入，得到關于r的方程，求出方程的解即可求出圓O的半徑；
（2）四邊形BDEF為菱形，理由為：由平行四邊形的對角相等可得出∠B=∠DEF，再由同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍得到∠DOB為∠DEF的2倍，等量代換可得出∠DOB為∠B的2倍，由三角形OBD為直角三角形，利用三角形的內角和定理得到∠DOB為60°，再由平行四邊形的對邊平行得到DE與AB平行，根據兩直線平行內錯角相等可得出∠EDO為60°，再由OE=OD，可得出三角形OED為等邊三角形，根據等邊三角形的三邊相等可得出ED=EO=OF，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到OFDE為平行四邊形，由OE=OF，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出四邊形OFDE為菱形．
解答：解：（1）設⊙O的半徑為r，連接OD，

∵BC切⊙O于點D，
∴OD⊥BC，即∠ODB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠ODB，
∵∠B=∠B，
∴△OBD∽△ABC，…（2分）
又∵AC=8，AB=12，
∴=，即，
解得：r=，
∴⊙O的半徑為；…（4分）

（2）四邊形OFDE是菱形，理由為：…（5分）
∵四邊形BDEF是平行四邊形，
∴∠DEF=∠B，
∵∠DEF=∠DOB，
∴∠B=∠DOB，
∵∠ODB=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠DOB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=60°，
∵OD=OE，
∴△ODE是等邊三角形，
∴OD=DE，
∵OD=OF，
∴DE=OF，又DE∥OF，
∴四邊形OFDE是平行四邊形，…（7分）
∵OE=OF，
∴平行四邊形OFDE是菱形．…（8分）
點評：此題考查了切線的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握性質及判定是解本題的關鍵．