Question

如圖，已知△PDC是⊙O的內接三角形，CP=CD，若將△PCD繞點P順時針旋轉，當點C剛落在⊙O上的A處時，停止旋轉，此時點D落在點B處．
（1）求證：PB與⊙O相切；
（2）當PD=2

3

，∠DPC=30°時，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析：（1）連接OA、OP，由旋轉可得：△PAB≌△PCD，再由全等三角形的性質可知AP=PC=DC，再根據∠BPA=∠DPC=∠D可得出∠BPO=90°，進而可知PB與⊙O相切；
（2）過點A作AE⊥PB，垂足為E，根據∠BPA=30°，PB=2

3

，△PAB是等腰三角形，可得出BE=EP=

3

，PA=2，PB與⊙O相切于點P可知∠APO=60°，故可知PA=2．

解答：（1）證明：連接OA、OP，OC，由旋轉可得：△PAB≌△PCD，
∴PA=PC=DC，
∴AP=PC=DC，∠AOP=∠POC=2∠D，∠APO=∠OAP=

180°-2∠D

2

，
又∵∠BPA=∠DPC=∠D，
∴∠BPO=∠BPA+

180°-2∠D

2

=90°
∴PB與⊙O相切；

（2）解：過點A作AE⊥PB，垂足為E，
∵∠BPA=30°，PB=2

3

，△PAB是等腰三角形；
∴BE=EP=

3

，（6分）
PA=

EP

cos30°

=

2 3

3

=2
又∵PB與⊙O相切于點P，
∴∠APO=60°，
∴OP=PA=2．

點評：本題考查的是切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質及圖形旋轉的性質，能根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．