Question

如圖，⊙C的內接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=

3

4

，拋物線y=ax²+bx經過點A（4，0）與點（-2，6）．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）直線m與⊙C相切于點A，交y軸于點D．求證：AD∥OB；
（3）動點P在線段OB上，從點O出發向點B運動；同時動點Q在線段DA上，從點D出發向點A運動；點P的速度為每秒一個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長，當PQ⊥AD時，求運動時間t的值．

Answer 1

分析：（1）把經過的點的坐標代入拋物線表達式，然后利用待定系數法求二次函數解析式；
（2）連接AC交OB于點E，連接OC、OB，然后根據到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上求出AC⊥OB，再根據圓的切線的定義求出AC⊥AD，然后根據垂直于同一直線的兩直線互相平行證明；
（3）根據∠AOB的正切值求出余弦值，然后求出AE，再利用∠OAD的正切值求出OD的長，表示出OP、OQ，再過O點作OF⊥AD于F，用t表示出DF，在Rt△ODF中，利用勾股定理列式求出DF，從而得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx經過點A（4，0）與點（-2，6），
∴

16a+4b=0 4a-2b=6

，
解得

a= 1 2 b=-2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-2x；

（2）如圖，連接AC交OB于點E，連接OC、OB，
∵OC=OB，AB=AO，
∴AC⊥OB，
∵AD為切線，
∴AC⊥AD，
∴AD∥OB；

（3）∵tan∠AOB=

3

4

，
∴sin∠AOB=

3

5

，
∴AE=OA•sin∠AOB=4×

3

5

=2.4，
∵AD∥OB，
∴∠OAD=∠AOB，
∴OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×

3

4

=3，
當PQ⊥AD時，OP=t，DQ=2t，
過O點作OF⊥AD于F，
在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF=

OD2-OF2

=

32-2.42

=1.8，
∴t=1.8秒．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，到線段兩端點距離相等的點在線段垂直平分線上，圓的切線的定義，解直角三角形，勾股定理的應用，平行線間的距離相等的性質，難度較大，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．