Question

如圖，在菱形ABCD中，P是AB上的一個動點（不與A、B重合），連接DP交對角線AC于E連接BE．
（1）證明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，試問P點運動到什么位置時，△ADP的面積等于菱形ABCD面積的，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）可先證△BCE≌△DCE得到∠EBC=∠EDC，再根據AB∥DC即可得到結論．
（2）當P點運動到AB邊的中點時，S_△ADP=S_菱形ABCD，證明S_△ADP=×AB•DP=S_菱形ABCD即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形
∴BC=CD，AC平分∠BCD（2分）
∵CE=CE
∴△BCE≌△DCE（4分）
∴∠EBC=∠EDC
又∵AB∥DC
∴∠APD=∠CDP（5分）
∴∠EBC=∠APD（6分）

（2）解：當P點運動到AB邊的中點時，S_△ADP=S_菱形ABCD．（8分）
理由：連接DB
∵∠DAB=60°，AD=AB
∴△ABD等邊三角形（9分）
∵P是AB邊的中點
∴DP⊥AB（10分）
∴S_△ADP=AP•DP，S_菱形ABCD=AB•DP（11分）
∵AP=AB
∴S_△ADP=×AB•DP=S_菱形ABCD
即△ADP的面積等于菱形ABCD面積的．（12分）
點評：此題主要考查菱形的性質和等邊三角形的判定，判斷當P點運動到AB邊的中點時，S_△ADP=S_菱形ABCD是難點．