Question

證明：方程x⁴+y⁴+2=5z沒有整數解．

Answer 1

證明：對于任一整數x，以5為模，有
x≡0，±1，±2（mod5），
x²≡0，1，4（mod5），
x⁴≡0，1，1（mod5），
即對任一整數x，x⁴≡0，1（mod5）．
同樣，對于任一整數y，y⁴≡0，1（mod5），
所以x⁴+y⁴+2≡2，3，4（mod5），
從而所給方程無整數解．