Question

22、以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中點，連接AM和DE．
（1）如圖1，△ABC中∠BAC=90°時，AM與ED大小的關系是

ED=2AM

．AM與ED的位置關系是

AM⊥ED

；
（2）如圖2，△ABC為一般三角形時線段AM與ED的關系是

ED=2AM，AM⊥ED

．試證明你的結論；
（3）如圖3，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內作等腰直角△ABE和△ACD，其它條件不變，試探究線段AM與DE之間的關系，不要求證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）ED=2AM，AM⊥ED．由于△ABC是直角三角形，根據已知條件和斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以得到ED=BC=2AM，然后利用斜邊上的中線的性質和已知條件可以證明AM⊥ED；
（2）ED=2AM，AM⊥ED．延長AM到N，使MN=AM，連BN，則ABNC是平行四邊形，再結合已知條件可以證明△DAE≌△ABN，根據全等三角形的性質可以得到DE=2AM，∠BAN=∠EDA，再延長MN交DE于K，因為∠BAN+∠DAK=90°，所以∠KDA+∠DAK=90°這樣就證明了AM⊥ED；
（3）ED=2AMAM⊥ED．根據（2）的證明過程可以知道，結論和等腰直角△ABE和△ACD的位置沒有關系，仍然可以得到△DAE≌△ABN，也即仍然結論成立．

解答：解：（1）ED=2AM，AM⊥ED；

（2）ED=2AM，AM⊥ED；
證明：延長AM到N，使MN=AM，連BN，則ABNC是平行四邊形．
∴AC=BN，∠ABN+∠BAC=180°
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABN=∠DAE．
再證：△DAE≌△ABN
∴DE=2AM，∠BAN=∠EDA．
延長MN交DE于K，
∵∠BAN+∠DAK=90°，
∴∠KDA+∠DAK=90°．
∴AM⊥ED．

（3）ED=2AM，AM⊥ED．

點評：本題綜合考查了三角形全等的判定和平行四邊形的判定，此題是開放性試題，利用等腰直角三角形的性質進行探究，由特殊到一般最后得到一般圖形變換的規律．