Question

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，點O是斜邊AB上的一個動點，過點O 作OD∥BC，交AC于點D，在線段OB上取一點E，使OE=OD，過點E作EF⊥ED，交射線AC于點F，交射線BC于點G．
（1）如圖（1），求證：△ADE∽△AEF；
（2）設OA=x，AF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）當CG=2時，求線段AF的長．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰三角形的性質和平行線的性質可以得到∠ADE=∠AEF，而∠A=∠A，由此即可證明△ADE∽△AEF；
（2）首先利用勾股定理求出BC，然后利用平行線分線段成比例得到

AO

AB

=

AD

AC

=

OD

BC

，接著由AO=x得到AD=

4

5

x，OD=

3

5

x，由OD=OE的OE=

3

5

x，所以AE=

8

5

x，最后利用（1）的結論和相似三角形的性質即可解決問題；
（3）有兩種情況：
①當點G在線段BC上，如圖1，由（1）得到

AD

AE

=

DE

EF

，AE=

8

5

x，AD=

4

5

x，接著得到EF=2DE，然后利用已知條件可以證明△FED∽△FCG，最后利用相似三角形的性質即可求出FC=4，也就求出AF；
②當點G在邊BC的延長線上，（備用圖）．方法和①一樣求出CG，然后求出AF．

解答：（1）證明：∵OD=OE∴∠ODE=∠OED（1分）
∵OD∥BC∴∠ODA=∠ACB
∵∠ACB=90°∴∠ODA=90°（1分）
∵EF⊥ED∴∠FED=90°（1分）
∴∠ADE=∠AEF（1分）
∵∠A=∠A∴△ADE∽△AEF（1分）

（2）解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10
∴BC=6（1分）
∵OD∥BC∴

AO

AB

=

AD

AC

=

OD

BC

∵AO=x∴AD=

4

5

x，OD=

3

5

x
∵OD=OE∴OE=

3

5

x
∴AE=

8

5

x（1分）
∵△ADE∽△AEF
∴

AE

AF

=

AD

AE

=

DE

DF

∴

8 5 x

y

=

4 5 x

8 5 x

（1分）
∴y=

16

5

x(0＜x≤

25

4

)（2分）

（3）解：當點G在線段BC上，圖1：
∵

AD

AE

=

DE

EF

，AE=

8

5

x，AD=

4

5

x
∴EF=2DE
∵∠FED=90°∠GCF=90°
∴∠FED=∠GCF
∵∠F=∠F
∴△FED∽△FCG（1分）
∴

EF

FC

=

DE

CG

∵CG=2∴FC=4
∴AF=4+8=12（1分）
當點G在邊BC的延長線上，（備用圖）
同理可求得FC=4
∴AF=8-4=4（2分）
∴當CG=2時，線段AF的長為12或4．

點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定，也考查了勾股定理及求函數解析式，綜合性比較強，解題的關鍵是多次利用相似三角形的性質與判定解決問題．