Question

【題目】已知，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（﹣1，0）和C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點M在拋物線的對稱軸上，當△MAC是以AC為直角邊的直角三角形時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）當△MAC是直角三角形時，點M的坐標為（1，）或（1，﹣）．

【解析】

（1）由點A、C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）設點M的坐標為（1，m），則CM=，AC=，AM=，分∠ACM=90°和∠CAM=90°兩種情況，利用勾股定理可得出關于m的方程，解之可得出m的值，進而即可得出點M的坐標．

（1）將A（﹣1，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c中，

得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

設點M的坐標為（1，m），

則CM=，AC==，AM=．

分兩種情況考慮：

①當∠ACM=90°時，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣3）2，

解得：m=，

∴點M的坐標為（1，）；

②當∠CAM=90°時，有CM2=AM2+AC2，即1+（m﹣3）2=4+m2+10，

解得：m=﹣，

∴點M的坐標為（1，﹣）．

綜上所述：當△MAC是直角三角形時，點M的坐標為（1，）或（1，﹣）．