Question

在創新素質實踐行活動中，某位同學參加了超市某種水果的銷售調查工作．已知該水果的進價為8元/千克，下面是他們在調查結束后的對話：
小明：如果以10元/千克的價格銷售，那么每天可以售出300千克；
小強：如果以13元/千克的價格銷售，那么每天可獲利750元；
小亮：通過調查驗證，我發現每天的銷售量與銷售單價之間存在一次函數關系．
（1）設超市每天該水果的銷售量是y（kg），銷售單價是x（元），寫出y與x的關系；
（2）在進貨成本不超過1200元時，銷售單價定為多少元可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）如果要使該水果每天的利潤不低于600元，銷售單價應在什么范圍內？

Answer 1

【答案】分析：（1）求出當售價是13時，銷售量是150，設y與x的關系式是y=kx+b，把（10，300），（13，150）代入得到，求出方程組的解即可得出答案；
（2）由題意得出8（-50x+800）≤1200，求出x≥11，設利潤是w，w=yx-8y=-50（x-12）²+800，設進貨成本為P元
則P≤1200，即8（-50x+800）≤1200，解得x≥13.5，因為在對稱軸右邊，W隨x增大而減小，所以當x=13.5時，求出最大值即可；
（3）根據題意得：-50x²+1200x-6400≥600，求出不等式的解集即可．
解答：（1）解：=150，
設y與x的關系式是y=kx+b，
把（10，300），（13，150）代入得：，
解得：，
∴y=-50x+800，
答：y與x的關系是y=-50x+800．

（2）解：設利潤是w，
w=yx-8y=（-50x+800）x-8（-50x+800）=-50x²+1200x-6400=-50（x-12）²+800，
∵a=-50＜0，開口向下，對稱軸是直線x=12，
設進貨成本為P元
∴P≤1200，即8（-50x+800）≤1200，解得x≥13.5，
∴x=12（舍去）
∵在對稱軸右邊，W隨x增大而減小
∴當x=13.5時，W最大，W=687.5
答：在進貨成本不超過1200元時，銷售單價定為13.5元可獲得最大利潤，最大利潤是687.5．

（3）解：根據題意得：-50x²+1200x-6400≥600，
解得：10≤x≤14，
答：如果要使該水果每天的利潤不低于600元，銷售單價應在10-14范圍內．
點評：本題主要考查對求二次函數的解析式，用待定系數法求一次函數的解析式，解二元一次方程組，二次函數的最值，二次函數的頂點式等知識點的理解和掌握，把實際問題轉化成數學問題是解此題的關鍵，題型較好，具有代表性，用的數學思想是轉化思想．